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為極限的量,至此柯西澄清了前人的無窮小的概念,而且把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來,從而第二次數學危機才基本解決。

第三次數學危機,則是出現在19世紀末,當時不列顛數學家羅素把集合分成兩種。但是推敲的時候,形成了羅素悖論:s由一切不是自身元素的集合所組成,那s屬於s嗎?

用通俗一點的話來說,小明有一天說:“我永遠撒謊!”問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在於,它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識,它很簡單,輕鬆摧毀集合理論!

為了解決這場數學危機,數學家們積極尋找解決的辦法,其中之一是把集合論建立在一組公理之上,以迴避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅,他提出七條公理,建立了一種不會產生悖論的集合論,又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進,形成了一個無矛盾的集合論公理系統。即所謂zf公理系統,直到此時,這場數學危機到此才緩和下來。

而如果標準猜想被證否,將會引起第四次數學危機,很多以前被認為是對的理論,都將被面臨著推倒重建。

當然,從歷史的發展來看,出現數學危機並非一定壞事。因為在解決危機的過程中,本身會誕生一系列偉大的數學成果,而這本身就是數學發展的動力所在。

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