第八十六章 所見即所得

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的結構、運算及性質的一個數學分支。

現代數學這一最重要的基礎理論是康託在19世紀70、80年代創立的。

由平面(或空間)上一些點組成的集，稱為“點集”。

一個點集可以是某些孤立的點，也可以是某曲線上或某區域內的所有點。

可以把各種幾何圖形看成是一個點集，然後研究它所包含的點在位置及數量關係方面的共同特徵，這樣往往能夠得到比直觀更為深刻的結論。

有關點集的基本理論，稱為點集論，而集合論討論比點集更廣泛、更抽象的一般集合。

集合論在數學中佔有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。

在幾何、代數、分析、機率論、數理邏輯及程式語言等各個數學分支中，都有廣泛的應用。

在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件的語言。

……

不知不覺間，葉秋的注意力全部集中到了這本純英文版的教材裡面去。

葉秋的眉頭漸漸皺了起來，

過去一個多月，他基本上將高中數學以及競賽數學從頭到尾捋了一遍，集合，函式，三角函式，向量，導數，解析幾何，圓與橢圓公式，統計機率，虛數各種概念都熟念於心。

但高中階段，這些知識點大多都只是蜻蜓點水，並沒有向學生揭示這些概念背後的一些深層內在的聯絡。

老師講課的時候也大多隻講述考綱以內的概念，各種考題基本上換湯不換藥。

而在這本書中，葉秋卻發現，布林巴基摒棄了分析、幾何、代數、數論等的經典劃分，而是以同構概念對數學內部各基本學科進行分類。

他們認為全部數學基於三種母結構：代數結構、序結構、和拓撲結構。

所謂結構就是“表示各種各樣的概念的共同特徵僅在於他們可以應用到各種元素的集合上。而這些元素的性質並沒有專門指定，定義一個結構就是給出這些元素之間的一個或幾個關係，人們從給定的關係所滿足的條件（他們是結構的公理）建立起某種給定結構的公理理論就等於只從結構的公理出發來推演這些公理的邏輯推論。”

一個數學學科可能由幾種結構混合而成，同時每一型別結構中又有著不同的層次。

比如實數集就具有三種結構：一種由算術運算定義的代數結構；一種順序結構；最後一種就是根據極限概念的拓撲結構。

三種結構有機結合在一起，比如李群是特殊的拓撲群，是拓撲結構和群結構相互結合而成。

因此，在這本書中，數學的分類不再象過去那樣劃分成代數、數論、幾何、分析等部門，而是依據結構的相同與否來分類。

比如線性代數和初等幾何研究的是同樣一種結構，也就說它們“同構”，可以一起處理。

這樣，這本書從一開始就打亂了經典數學世界的秩序，以全新的觀點來統一整個數學。

這是完全的體系化理論，從最簡潔的數學結構出發，向讀者揭示數學的本質。

在看這本書之前，葉秋對數學的認知實際上還處於相當淺顯的階段，數學在他看來，屬於科學的工具，是一門計算科學。

而這本書，彷彿為他開啟了一扇大門，讓他首次得以窺見，數學海洋深處的一些本質性的東西。